将一般二次曲线方程进行化简与分类，是大学解析几何课程的重要教学内容。本文给出了一种不涉及大学数学知识化简二次曲线方程的方法，是一种中学生能理解掌握的初等数学解法。该方法既可用于求任意二次曲线图形的对称轴、中心或顶点，也可解决二次曲线方程分类及曲线作图的问题。

中学数学教学体系中，圆锥曲线是一个非常重要的内容。无论是椭圆、双曲线还是抛物线，其标准方程都非常简洁，它们都属于一般的二元二次方程的特例。在大学解析几何课程中一般二元二次方程被称为二次曲线方程，表示平面上的二次曲线。讨论二次曲线的几何性质，将二次曲线方程进行化简、作图和分类，均是大学解析几何课程二次曲线一般理论的主要内容。章建跃[1]指出，中学数学解析几何教材突出标准方程的主干地位，不对一般的二次方程及曲线进行讨论，中学生对用不变量思想讨论几何图形性质的理论理解有困难，所以削弱了坐标变换。

为完成一般二次曲线方程化简，大学解析几何教材[2]基本是沿着研究二次曲线的渐进方向、中心与渐近线，以及主直径与主方向的路径，乃至应用不变量和半不变量完成二次曲线方程的化简与分类。力求优化化简二次曲线方程过程的相关研究文献[3-5]的作者所使用的方法大都需要立足于二次曲线的矩阵概念、不变量和（或）特征方程的计算，傅朝金[6]则另辟蹊径使用涉及多元微分学的拉格朗日乘数法，这些方法均超出了现有中学生的知识准备。

然而，对二次曲线方程进行化简毕竟可以丰富中学圆锥曲线内容，有一定的教学和研究价值。本文给出一种易于中学生理解和掌握的初等数学解法，旨在为中学生的自主性学习提供一定的参考。

1 分析

从（4）也可反推出（3），换言之，（3）与（4）实际反映新旧坐标系之间同一旋转关系。立足于变换式（3）和（4），本文接下来给出化简二次曲线方程的初等数学解法。

2 示例

图1 例1方程的图形

图2 例2方程的图形

图3 例3方程的图形

3 结语

化简二次曲线方程的初等数学解法可以分为两大类，例1的解法适合二次项部分不能配成完全平方项的方程（类型Ⅰ），例2的解法适合二次项部分能配成完全平方项的方程（类型Ⅱ）；而对类型Ⅰ的方程，若出现两个平方项系数相等的特殊情形，则可用更简洁的方法去化简，即例3使用的直接变换方法（不难证明在这种特殊情形下按照例1的解法所得到的变换就是例3使用的直接变换）。

从消去交叉项这个关键点入手，本文给出的化简二次曲线方程的方法计算量小，不涉及大学数学知识，是一种中学生易于理解并且掌握的初等数学解法，既可用于求任意二次曲线图形的对称轴、中心或顶点，也可解决二次曲线方程分类及曲线作图的问题。

[1]章建跃.我国中学数学解析几何教材的沿革-中学数学中的解析几何之二[J].中学数学教学参考,2007(8):1-4

[2]吕林根,许子道.解析几何 (第五版)[M].北京:高等教育出版社,2019

[3]冯福存.二次曲线方程化简与分类的矩阵表示[J].宁夏师范学院学报(自然科学),2016(3):37-43

[4]张会凌.用配方法化有心二次曲线方程为仿射标准形[J].甘肃联合大学学报(自然科学版),2013(5):106-108

[5]尹彦彬,王建永,陈敏茹.欧氏群与二次曲线方程的化简[J].大学数学,2012(4):107-112

[6]傅朝金,中心二次曲线方程化简的一种新方法及其推广[J].湖北师范学院学报(自然科学版),2001(2):72-74

文章来源：《中学生数理化》 网址: http://www.zxsslhzzs.cn/qikandaodu/2021/0525/722.html

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